导数的意义
它是什么：导数是函数在一点附近的变化率，也可以看作切线斜率。
什么时候用：题目出现切线、增量、单调性或极值时使用。
先做什么：先确认函数在该点附近有定义，再计算或引用导数。
容易错：导数存在通常能推出连续，但连续不一定可导。
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导数与证明
证明题不是从结论硬推，而是先看结论长什么样，再选择能产生这个结论的定理或辅助函数。
做题卡住时，先看“什么时候用”，再看“先做什么”；最后用“容易错”检查自己的步骤。
导数基础
遇到题目先想这一层中值定理与证明
遇到题目先想这一层Rolle 定理
它是什么：连续、可导且两端函数值相等，就存在一点导数为 0。
什么时候用：结论出现 f′(ξ)=0 或需要证明存在水平切线时使用。
先做什么：检查闭区间连续、开区间可导、端点值相等。
容易错：少一个条件都不能直接套。
Lagrange 中值定理
它是什么：函数增量等于某点导数乘区间长度：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)。
什么时候用：结论出现差值、平均变化率或存在 ξ 时使用。
先做什么：把目标式改造成两个端点函数值之差。
容易错：ξ 在区间内部，不是你可以随便指定的点。
辅助函数
它是什么：把要证明的式子放进一个函数，让中值定理或单调性替你完成证明。
什么时候用：不等式、存在性、零点和等号条件题常用。
先做什么：先让辅助函数的函数值或导数直接对应目标结论。
容易错：构造完要说明连续性、可导性和等号条件。
Taylor 余项与估值
它是什么：用高阶导数控制函数和低阶多项式之间的误差。
什么时候用：题目要证明不等式、估计误差或比较函数时使用。
先做什么：确定展开点、阶数和余项范围，再判断符号。
容易错：余项阶数写错，后面的估值就不成立。
做完题快速检查
避免会做但丢分- 先圈出连续、可导、区间和端点条件
- 从结论判断该用哪一个定理
- 辅助函数要服务于目标式
- 证明结尾写出存在点范围和等号条件