偏导数
它是什么：求一个变量的变化率时，把其他自变量暂时固定。
什么时候用：看到 fₓ、fᵧ 或“对 x 求偏导”时使用。
先做什么：明确固定谁，再像单变量函数一样求导。
容易错：偏导存在不等于连续，更不等于可微。
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多元函数与空间积分
多元题最容易乱，是因为变量关系、几何区域和定理条件同时出现。先把它们拆开，题目就会清楚很多。
做题卡住时，先看“什么时候用”，再看“先做什么”；最后用“容易错”检查自己的步骤。
变量与微分
遇到题目先想这一层链式法则
它是什么：变量通过中间量影响结果，总变化率要把每条依赖路径相加。
什么时候用：出现 z=f(u,v)，u、v 又由 x、y 表示时使用。
先做什么：画依赖图，沿每条路径求导后相加。
容易错：二阶导数不能只把一阶导数平方。
隐函数求导
它是什么：虽然 y 或 z 没有单独解出来，也可以把关系式整体求导。
什么时候用：出现 F(x,y)=0 或 F(x,y,z)=0 时使用。
先做什么：对等式两边求导，把隐含变量的导数保留，再解出目标导数。
容易错：多元偏导时要固定题目没有求导的变量。
全微分与方向导数
它是什么：可微时，函数增量可以用各偏导组成的线性式近似；方向导数是沿指定方向的变化率。
什么时候用：题目出现 Δz、近似、梯度或方向时使用。
先做什么：先求梯度，再确认方向向量是否单位化。
容易错：方向向量没单位化会造成比例错误。
极值与积分
遇到题目先想这一层多元极值
它是什么：驻点满足所有一阶偏导为 0，再用二阶信息判断局部形状。
什么时候用：题目问极大、极小、鞍点或最值时使用。
先做什么：先找全部驻点，再算 Hessian 判别式，闭区域还要看边界。
容易错：D=0 时二阶判别法没有结论。
二重积分区域
它是什么：二重积分的关键通常是区域，不是积分本身。
什么时候用：题目给出几条直线、曲线或不等式时使用。
先做什么：先画区域，求交点，再决定先对 x 还是 y 积分。
容易错：上下限必须覆盖区域一次且不能重叠。
坐标变换
它是什么：把区域和被积函数换到更合适的坐标系，Jacobian 负责面积 / 体积缩放。
什么时候用：圆、球、旋转面或椭圆结构明显时使用。
先做什么：先换边界，再换函数和面积 / 体积元。
容易错：极坐标的面积元是 r dr dθ，不能漏 r。
三重积分
它是什么：把空间区域按投影、截面或柱球坐标拆成可积范围。
什么时候用：题目出现体积、质量、密度或曲面围成的立体时使用。
先做什么：先画投影和截面，再写上下边界。
容易错：三维范围比计算更重要，先别急着积分。
Green / Gauss / Stokes
它是什么：把边界上的积分换成区域、体积或旋度相关的积分。
什么时候用：看到闭曲线、闭曲面、通量或环流时使用。
先做什么：先判断对象、方向、是否闭合以及区域连通性。
容易错：方向和正向约定错了，结果会差一个符号。
做完题快速检查
避免会做但丢分- 先画变量依赖图或几何区域
- 写出适用条件再套定理
- 把方向、边界和 Jacobian 单独检查
- 极值题不要漏边界，积分题不要只看代数