公式速查
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按专题查公式；先读适用条件，再代入变量、区间、方向和展开阶数。点击专题入口可查看定义、定理与例题。
极限与展开
打开极限专题 →ex−1 ~ x ln(1+x) ~ x 1−cos x ~ x²/2
ex=1+x+x²/2!+x³/3!+O(x⁴)
ln(1+x)=x−x²/2+x³/3+O(x⁴)
sin x=x−x³/3!+O(x⁵) cos x=1−x²/2!+x⁴/4!+O(x⁶)
等价无穷小通常用于乘除；加减时关注抵消项，按需展开。
导数与中值定理
打开导数证明 →(ln x)′ = 1/x (sin x)′ = cos x (cos x)′ = −sin x
(f∘g)′(x) = f′(g(x))g′(x)
Lagrange：f′(ξ) = [f(b)−f(a)]/(b−a)，ξ∈(a,b)
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ 存在 ξ∈(a,b)，f′(ξ)=0
中值定理要求闭区间连续、开区间可导；Rolle 定理还要求端点函数值相等。
积分
打开积分专题 →∫abf′(x)dx = f(b)−f(a)
f 偶：∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
f 奇：∫−aaf(x)dx=0
m≤f(x)≤M ⇒ m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)（a<b）
多元函数与重积分
打开多元函数 →D=fxxfyy−fxy²
D>0,fxx>0：局部极小；D>0,fxx<0：局部极大
x=r cosθ，y=r sinθ，dA=r dr dθ
D=0 时二阶判别法不能定性；极坐标换元时面积元含雅可比因子 r。
多元微分
打开多元函数 →全微分：df=f_xdx+f_ydy；方向导数：D_ef=∇f·e，|e|=1
链式法则：z=f(u,v)，z_x=f_uu_x+f_vv_x
隐函数 F(x,y)=0：y′=−F_x/F_y（F_y≠0）
曲面 F=c 的切平面：∇F(P)·(r−P)=0（∇F(P)≠0）
偏导时固定其余变量；方向导数先将方向向量单位化；隐函数和切平面必须核对非零条件。
重积分与坐标变换
打开重积分专题 →极坐标：x=r cosθ，y=r sinθ，dA=r dr dθ
柱坐标：dV=r dr dθ dz；球坐标：dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
坐标变换：dA=|∂(x,y)/∂(u,v)| du dv
先换区域边界，再换函数和面积/体积元；Jacobian 必须取绝对值。
曲线积分
打开曲线积分专题 →平面第二类：∫CP dx+Q dy=∫ab[P(x,y)x′(t)+Q(x,y)y′(t)]dt
空间第二类：∫CF·dr=∫abF(r(t))·r′(t) dt
Green：∮∂DPdx+Qdy=∬D(Q_x−P_y) dA
第一类与方向无关；第二类与方向有关。Green 要求正向简单闭曲线及区域内相应偏导连续。
曲面积分与通量
打开曲面积分专题 →第二类：∬SF·n dS=∬DF(r(u,v))·(r_u×r_v) du dv
Gauss：∯∂ΩF·n dS=∭ΩdivF dV
Stokes：∮∂SF·dr=∬S(curlF)·n dS
第一类曲面积分无方向；通量和 Stokes 与定向有关。Gauss 要求闭曲面，Stokes 要求带正向边界的定向曲面。
微分方程
打开微分方程专题 →y″+ay′+by=0：特征方程 r²+ar+b=0
不同实根 r₁,r₂：y=C₁er₁x+C₂er₂x
重根 r：y=(C₁+C₂x)erx
非齐次方程的通解为齐次通解加一个特解；代初值确定常数。
无穷级数
打开无穷级数专题 →交错级数：bₙ↓0 ⇒ Σ(−1)n−1bₙ 收敛，|Rₙ|≤bₙ₊₁
幂级数 Σcₙ(x−x₀)ⁿ：先求收敛半径 R，再分别检验端点
比值极限 L=1 时判别法无结论；幂级数端点必须单独判断。
空间解析几何
打开空间解析几何专题 →点到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离：|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
两向量夹角：cosθ=(a·b)/(|a||b|)
直线用方向向量描述；平面用法向量描述。
例题卡片
按方法查看分步解答题目：求 limx→0sin(3x)/x。
解：
第一步：令 t=3x，则 t→0，且 sin(3x)~3x。
第二步：原式等价于 3x/x=3。
答：3。
题目：对 f(x)=x² 在 [0,1] 应用拉格朗日中值定理。
解：
第一步：f 在 [0,1] 连续、在 (0,1) 可导，满足定理条件。
第二步：存在 ξ∈(0,1)，使 2ξ=[f(1)−f(0)]/(1−0)=1。
第三步：解得 ξ=1/2，且确实属于 (0,1)。
答：ξ=1/2。
题目：计算 ∫₀¹x eˣdx。
解：
第一步：取 u=x，dv=eˣdx，得到 du=dx、v=eˣ。
第二步：代入公式，∫₀¹x eˣdx=[xeˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx。
第三步：计算得 e−(e−1)=1。
答：1。
题目：计算单位圆盘上 ∬(x²+y²)dA。
解：
第一步：圆盘范围为 0≤r≤1、0≤θ≤2π，且 x²+y²=r²。
第二步：使用 dA=r dr dθ，积分写为 ∫₀2π∫₀¹r³drdθ。
第三步：计算得到 2π·1/4=π/2。
答：π/2。