做题速查 · 先认类型微分方程
微分方程题先判断类型，再套对应流程。不要一上来就积分，先看未知函数和自变量怎样出现。
使用方式做题卡住时，先看“什么时候用”，再看“先做什么”；最后用“容易错”检查自己的步骤。
常见类型
遇到题目先想这一层01它是什么：能整理成 y 的函数乘 dy 等于 x 的函数乘 dx。
什么时候用：x、y 可以分到等式两边时使用。
先做什么：分离后两边积分，最后用初值确定常数。
容易错：分离时不要把可能为 0 的因子直接约掉。
02它是什么：标准形式 y′+P(x)y=Q(x)，用积分因子把左边变成一个乘积的导数。
什么时候用：y′、y 都一次出现，且系数只依赖 x 时使用。
先做什么：积分因子 μ=e^{∫Pdx}，乘完后整体积分。
容易错：标准形式没整理对，积分因子就会错。
03它是什么：齐次部分用特征方程，非齐次部分再找一个特解。
什么时候用：系数是常数，出现 y″、y′、y 时使用。
先做什么：先解齐次，再按右端形式设特解。
容易错：重根、共轭复根要写对通解形式。
条件与应用
遇到题目先想这一层01它是什么：给定某一点的函数值或导数值，用来确定通解中的常数。
什么时候用：题目给 y(x₀)、y′(x₀) 或初始状态时使用。
先做什么：先写完整通解，再代条件，不要边解边漏常数。
容易错：初值只在定义域允许的范围内有意义。
02它是什么：把增长、衰减、运动、冷却等文字关系翻译成导数方程。
什么时候用：题目描述“变化率与当前量成正比”等关系时使用。
先做什么：先定义变量和单位，再写变化率关系。
容易错：单位和正负号能帮助检查方程是否合理。
做完题快速检查
避免会做但丢分- 先判断阶数和类型
- 写标准形式
- 保留完整通解和常数
- 代入条件后回代原方程