一阶方程 y′=f(x)g(y) 称为可分离变量型；在 g(y)≠0 的解支上可写成 dy/g(y)=f(x)dx。
dy/g(y)=f(x)dx → 平衡解 → 初值
微分方程 / 可分离变量
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可分离变量
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论分离后积分得到隐式通解；g(y)=0 的常值平衡解不能在约分时丢失，存在唯一性还需另行检查。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先整理成 y′=f(x)g(y)。
- 分离变量并两边积分，保留积分常数。
- 检查被除因子为零的平衡解，再代入初值。
例题提示：直接约去 g(y) 会遗漏平衡解；初值若落在平衡解上，应优先检查该解。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到增长、衰减、Logistic 模型和自治方程相线。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：直接约去 g(y) 会遗漏平衡解；初值若落在平衡解上，应优先检查该解。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景一阶线性
y′+P(x)y=Q(x)
μ=e∫P(x)dx
(μy)′=μQ
μ=e∫P(x)dx
(μy)′=μQ
条件：先整理为标准形式。
场景：一阶线性初值问题。
可分离变量
dy/dx=f(x)g(y)
dy/g(y)=f(x)dx
dy/g(y)=f(x)dx
条件：分离时注意可能遗漏的平衡解。
场景：增长、衰减和简单模型。
二阶常系数
y″+ay′+by=0
r²+ar+b=0
r²+ar+b=0
条件：按特征根类型写齐次通解。
场景：重根、共轭复根和非齐次特解。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。