Rolle 定理：若 f 在 [a,b] 连续、在 (a,b) 可导且 f(a)=f(b)，则存在 ξ∈(a,b) 使 f′(ξ)=0。
C[a,b] → f(a)=f(b) → f′(ξ)=0
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Rolle 定理
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论定理的三个条件缺一不可；结论只保证至少存在一个内部点，不能指定 ξ 的具体位置。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 逐条验证连续、可导和端点值相等。
- 若题目目标不是直接的 f′=0，先构造辅助函数。
- 写出 ξ∈(a,b) 和由此得到的结论。
例题提示：f(x)=|x| 在 [−1,1] 不满足开区间可导条件，因此不能套 Rolle。
四、推广应用
综合题中的连接可用于证明根的个数、导数零点存在和多项式根之间的关系。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：f(x)=|x| 在 [−1,1] 不满足开区间可导条件，因此不能套 Rolle。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。