若 f 在 [a,b] 连续、在 (a,b) 可导，则存在 ξ∈(a,b) 使 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)，即平均变化率等于某点瞬时变化率。
平均斜率 → 内部点 ξ → 估值
导数证明 / Lagrange 中值定理
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Lagrange 中值定理
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论连续和开区间可导是定理的标准条件；ξ 只保证存在，不能取成中点或端点。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 把目标式整理成端点函数值之差。
- 逐条核对连续性和可导性。
- 应用公式后保留 ξ 的区间，并按需要估计 f′(ξ)。
例题提示：看到 f(b)−f(a) 时可用中值定理，但不能把存在的 ξ 当成可直接计算的已知数。
四、推广应用
综合题中的连接可用于单调性、误差估计、函数不等式和唯一性证明。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：看到 f(b)−f(a) 时可用中值定理，但不能把存在的 ξ 当成可直接计算的已知数。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。