非零向量夹角由 cosθ=(a·b)/(|a||b|) 定义；点面距离是点到平面的最短距离，即正交投影长度。
cosθ → 点面距离 → 非负
空间解析几何 / 距离与夹角
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距离与夹角
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论点 P₀ 到 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)；直线距离需先区分相交、平行或异面。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先写方向向量、法向量或连接向量。
- 夹角用点积，距离用投影或叉积。
- 检查向量非零并取距离的非负值。
例题提示：点积公式的两个向量不能为零；距离分子要取绝对值。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到线面夹角、异面直线距离和最短距离问题。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：点积公式的两个向量不能为零；距离分子要取绝对值。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景直线与平面
直线：r=r0+ts
平面：n·(r−r0)=0
平面：n·(r−r0)=0
条件：s 为非零方向向量，n 为非零法向量。
场景：平行、垂直、交点和参数方程。
距离与夹角
cosθ=(a·b)/(|a||b|)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
条件：距离取非负值，向量不能为零。
场景：点面、线面、线线距离和夹角。
曲面与切平面
F(x,y,z)=c：∇F(P)·(r−P)=0
条件：∇F(P)≠0。
场景：曲面切平面、法线和空间区域。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。