平面由一点 P₀ 和一个非零法向量 n 确定；平面内任意方向向量都与 n 正交。
n·(r−P₀)=0 → Ax+By+Cz+D=0 → n≠0
空间解析几何 / 平面方程
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平面方程
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论点法式 n·(r−P₀)=0；若 n=(A,B,C)，展开为 Ax+By+Cz+D=0，且 (A,B,C)≠(0,0,0)。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先确定已知点和法向量。
- 写点法式，展开并整理。
- 把已知点代回检查常数项。
例题提示：代入已知点不成立说明常数项有误；法向量的三个分量不能同时为 0。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到点面距离、切平面和线面关系。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：代入已知点不成立说明常数项有误；法向量的三个分量不能同时为 0。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景直线与平面
直线：r=r0+ts
平面：n·(r−r0)=0
平面：n·(r−r0)=0
条件：s 为非零方向向量，n 为非零法向量。
场景：平行、垂直、交点和参数方程。
距离与夹角
cosθ=(a·b)/(|a||b|)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
条件：距离取非负值，向量不能为零。
场景：点面、线面、线线距离和夹角。
曲面与切平面
F(x,y,z)=c：∇F(P)·(r−P)=0
条件：∇F(P)≠0。
场景：曲面切平面、法线和空间区域。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。