若 am≤f≤M → 积分保序 → m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
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积分估值
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论积分的保序性来自逐点不等式；区间方向改变时不等号和长度因子也必须同步处理。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先证明不等式在整个区间成立。
- 按积分保序性积分，并保持常数因子。
- 检查等号成立的函数条件和区间方向。
例题提示：只在个别点成立的上下界不能直接积分；取倒数或乘负数时要先处理不等号方向。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到积分不等式、平均值估计和误差界。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：只在个别点成立的上下界不能直接积分；取倒数或乘负数时要先处理不等号方向。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本积分
∫u dv=uv−∫v du
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
条件：函数在区间内满足积分条件。
场景：换元、分部、原函数和边界项。
对称与估值
f 偶：∫−aaf=2∫0af
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
条件：区间和函数必须同时满足条件。
场景：减少计算、证明不等式和估值。
面积与体积
A=∫ab|f(x)−g(x)|dx
V=∫abA(x)dx
V=∫abA(x)dx
条件：先确定交点、上下关系和截面。
场景：面积、体积、质量和物理应用。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。