若 u=φ(x)，则不定积分按 du=φ′(x)dx 变换；定积分还必须把上下限从 x 的范围同步改成 u 的范围。
u=φ(x) → du=φ′dx → 同步改上下限
积分专题 / 换元积分
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换元积分
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论在 φ 可微且相应函数可积、替换在区间上合法时，∫ₐᵇf(φ(x))φ′(x)dx=∫_{φ(a)}^{φ(b)}f(u)du。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 寻找“内层函数及其导数”，设 u。
- 同时改写被积函数、微分和上下限。
- 积分后检查新旧变量没有混用，并回代验证。
例题提示：定积分换元后保留原上下限会造成整体错误；不定积分则要在最后回代 x。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到二重积分的坐标变换，此时面积元还要乘 Jacobian 的绝对值。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：定积分换元后保留原上下限会造成整体错误；不定积分则要在最后回代 x。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本积分
∫u dv=uv−∫v du
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
条件：函数在区间内满足积分条件。
场景：换元、分部、原函数和边界项。
对称与估值
f 偶：∫−aaf=2∫0af
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
条件：区间和函数必须同时满足条件。
场景：减少计算、证明不等式和估值。
面积与体积
A=∫ab|f(x)−g(x)|dx
V=∫abA(x)dx
V=∫abA(x)dx
条件：先确定交点、上下关系和截面。
场景：面积、体积、质量和物理应用。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。