若分式 f/g 在趋近点形成 0/0 或 ∞/∞ 型，且 f、g 在去心邻域可导、g′不为 0；若 f′/g′ 的极限存在（有限或无穷），则 lim f/g 等于该极限。
0/0 或 ∞/∞ → g′≠0 → 先变形
极限专题 / 洛必达法则
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洛必达法则
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论洛必达法则只适用于 0/0、∞/∞ 两类未定式，并须满足导数比极限存在等条件；其他形式要先变形。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先代入判断未定式类型。
- 确认可导性和 g′≠0，再求导数比。
- 若仍为同类未定式才可继续；求导后要重新检查条件。
例题提示：例：1/x 在 x→0⁺ 发散，但这不是 0/0 或 ∞/∞ 型，不能直接套洛必达。
四、推广应用
综合题中的连接幂指型可先取对数；能用等价无穷小或 Taylor 简洁解决时，不必机械使用洛必达。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：1/x 在 x→0⁺ 发散，但这不是 0/0 或 ∞/∞ 型，不能直接套洛必达。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景常用等价无穷小
sin u ~ u
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
条件：u→0。主要用于乘除结构；相减时检查抵消。
场景：基本未定式、复合极限。
Taylor 展开
eu=1+u+u²/2!+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
条件：展开点和保留阶数明确。
场景：首项抵消、精确阶数、误差估计。
阶数与余项
f(u)=Pn(u)+O(un+1)
α=o(β) ⇔ α/β→0
α=o(β) ⇔ α/β→0
条件：同一趋近过程下比较。
场景：判断主导项和确定展开深度。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。