若 f 在 a 附近具有所需阶导数，n 阶 Taylor 多项式为 Pₙ(x)=Σ[k=0,n] f^(k)(a)(x−a)^k/k!，并有 f(x)=Pₙ(x)+Rₙ(x)。
Pₙ(x) → Rₙ(x) → 展开阶数
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Taylor 展开
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论Taylor 定理的 Lagrange 余项为 Rₙ(x)=f^(n+1)(ξ)(x−a)^(n+1)/(n+1)!，其中 ξ 严格位于 a 与 x 之间；使用时需满足相应连续性和可导性条件。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先确定展开点、目标精度和可能抵消的项。
- 展开到第一个未被抵消的非零项，并保留余项阶。
- 对复合函数先判断内层变量的阶，再代入展开。
例题提示：例：求含 1−cos x 的极限时至少保留二阶项；把 O(x⁴)误写成等式会丢失误差控制。
四、推广应用
综合题中的连接可用于极限、误差估计、积分近似、局部极值和幂级数；多元情形对应 Hessian 二次型。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：求含 1−cos x 的极限时至少保留二阶项；把 O(x⁴)误写成等式会丢失误差控制。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景常用等价无穷小
sin u ~ u
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
条件：u→0。主要用于乘除结构；相减时检查抵消。
场景：基本未定式、复合极限。
Taylor 展开
eu=1+u+u²/2!+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
条件：展开点和保留阶数明确。
场景：首项抵消、精确阶数、误差估计。
阶数与余项
f(u)=Pn(u)+O(un+1)
α=o(β) ⇔ α/β→0
α=o(β) ⇔ α/β→0
条件：同一趋近过程下比较。
场景：判断主导项和确定展开深度。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。