若在 x₀ 的某个去心邻域内有 g(x)≤f(x)≤h(x)，且 g、h 在同一趋近过程中都趋于 L，则 f(x)→L。
g≤f≤h → 两侧同极限 → 绝对值夹逼
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夹逼定理
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论夹逼定理的前提是不等式在同一邻域成立，且上下界极限存在并相等；绝对值估计是常用入口。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先处理符号，常改写为 |f(x)−L|。
- 构造趋于同一值的上下界。
- 写出不等式成立的邻域和两侧极限。
例题提示：例：|x sin(1/x)|≤|x|→0，所以 x sin(1/x)→0；不要只写“sin(1/x)有界”而省略夹逼链。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到数列、积分估值、误差界和一致收敛的判定。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：|x sin(1/x)|≤|x|→0，所以 x sin(1/x)→0；不要只写“sin(1/x)有界”而省略夹逼链。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景常用等价无穷小
sin u ~ u
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
条件：u→0。主要用于乘除结构；相减时检查抵消。
场景：基本未定式、复合极限。
Taylor 展开
eu=1+u+u²/2!+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
条件：展开点和保留阶数明确。
场景：首项抵消、精确阶数、误差估计。
阶数与余项
f(u)=Pn(u)+O(un+1)
α=o(β) ⇔ α/β→0
α=o(β) ⇔ α/β→0
条件：同一趋近过程下比较。
场景：判断主导项和确定展开深度。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。