设 α、β→0。若 α/β→0，记 α=o(β)；若 α/β→c≠0，称 α、β 同阶；c=1 时就是等价无穷小。
o(β) → 同阶比较 → 首项抵消
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无穷小的阶
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论阶的比较具有传递性：α=o(β) 表示 α 比 β 高阶；α~β 表示二者主导阶相同，但不能据此确定 α−β 的阶。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 把每个因子写成主导项乘以(1+o(1))。
- 先比较最低非零阶，再处理系数。
- 发现首项抵消时继续展开，直到出现非零主导项。
例题提示：例：1−cos x~x²/2，而 x−sin x~x³/6；两者都要先确认抵消后的首项。
四、推广应用
综合题中的连接阶数语言连接等价无穷小、Taylor 余项和级数通项，可用于确定误差的精确数量级。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：1−cos x~x²/2，而 x−sin x~x³/6；两者都要先确认抵消后的首项。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景常用等价无穷小
sin u ~ u
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
tan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
条件：u→0。主要用于乘除结构；相减时检查抵消。
场景：基本未定式、复合极限。
Taylor 展开
eu=1+u+u²/2!+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+O(u⁴)
ln(1+u)=u−u²/2+O(u³)
条件：展开点和保留阶数明确。
场景：首项抵消、精确阶数、误差估计。
阶数与余项
f(u)=Pn(u)+O(un+1)
α=o(β) ⇔ α/β→0
α=o(β) ⇔ α/β→0
条件：同一趋近过程下比较。
场景：判断主导项和确定展开深度。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。