逐项运算是把幂级数的求导或积分作用到每一项，并在其收敛半径内部保持与原函数相等。
|x−x₀|逐项运算的识别、条件核对与计算路径
二、基本定理
条件与结论幂级数在 |x−x₀| 定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。条件检查
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先确定原级数的收敛半径。
- 只在内部区间逐项运算。
- 运算后再单独检查端点和目标函数的定义域。
例题提示：超过收敛半径或直接把端点带入逐项导数，结论不保证成立。
四、推广应用
综合题中的连接可用于由已知展开求和、解微分方程和构造 Taylor 级数。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：超过收敛半径或直接把端点带入逐项导数，结论不保证成立。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本判别
Σan 收敛 ⇒ an→0
L=lim|an+1/an|<1 收敛，L>1 发散
L=lim|an+1/an|<1 收敛，L>1 发散
条件：L=1 时比值判别无结论。
场景：正项、阶乘、指数型通项。
交错级数
Σ(−1)n−1bn：bn↓0 ⇒ 收敛
|Rn|≤bn+1
|Rn|≤bn+1
条件：单调递减且趋于 0。
场景：符号交替、误差估计。
幂级数
Σcn(x−x0)n
先求 R，再检验 x=x0±R
先求 R，再检验 x=x0±R
条件：端点必须分别判断。
场景：收敛域、逐项求导和积分。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。