两个曲面（或边界）的交线是同时满足两组方程的点集；投影是该点集或空间区域在坐标平面上的像。
交线 → 投影 D → 上下界
空间解析几何 / 交线与投影
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交线与投影
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论建立三重积分时先确定投影区域 D，再由上下曲面给出变量范围；投影边界通常来自曲面交线。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 联立方程求交线或边界。
- 选择投影平面并画截面。
- 写出上下界与投影范围，必要时分区。
例题提示：投影区域不能凭直觉选取；上下表面关系改变时必须分段。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到曲面积分、通量、坐标变换和空间区域建模。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：投影区域不能凭直觉选取；上下表面关系改变时必须分段。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景直线与平面
直线：r=r0+ts
平面：n·(r−r0)=0
平面：n·(r−r0)=0
条件：s 为非零方向向量，n 为非零法向量。
场景：平行、垂直、交点和参数方程。
距离与夹角
cosθ=(a·b)/(|a||b|)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
条件：距离取非负值，向量不能为零。
场景：点面、线面、线线距离和夹角。
曲面与切平面
F(x,y,z)=c：∇F(P)·(r−P)=0
条件：∇F(P)≠0。
场景：曲面切平面、法线和空间区域。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。