对等值面 F(x,y,z)=c，梯度 ∇F=(Fₓ,Fᵧ,F_z) 是各偏导组成的向量；在 ∇F(P)≠0 时它垂直于等值面。
∇F(P)≠0 → 法向量 → 切平面
空间解析几何 / 梯度与切平面
← 返回空间解析几何三基详解 · 空间解析几何 梯度与切平面的识别、条件核对与计算路径
梯度与切平面
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若 ∇F(P)≠0，曲面在 P 的切平面为 ∇F(P)·(r−P)=0，法线方向为 ∇F(P)。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 求 F 的梯度并代入指定点。
- 确认梯度非零。
- 用点法式写切平面，必要时写法线参数式。
例题提示：梯度在该点为 0 时不能直接当法向量；切平面公式必须使用曲面上的点 P。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到方向导数、约束极值、法向通量和隐式曲面。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：梯度在该点为 0 时不能直接当法向量；切平面公式必须使用曲面上的点 P。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景直线与平面
直线：r=r0+ts
平面：n·(r−r0)=0
平面：n·(r−r0)=0
条件：s 为非零方向向量，n 为非零法向量。
场景：平行、垂直、交点和参数方程。
距离与夹角
cosθ=(a·b)/(|a||b|)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
条件：距离取非负值，向量不能为零。
场景：点面、线面、线线距离和夹角。
曲面与切平面
F(x,y,z)=c：∇F(P)·(r−P)=0
条件：∇F(P)≠0。
场景：曲面切平面、法线和空间区域。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。