非零向量 s 称为直线的方向向量，是直线上任意两点之差的非零倍数。
s≠0 → r=r₀+ts → 共线/点积
空间解析几何 / 方向向量
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方向向量
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论直线可表示为 r=r₀+ts；两条直线平行当且仅当方向向量共线，垂直时点积为 0。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 由两点作差或从题设读取方向。
- 写参数方程并标明 t 的范围。
- 用点积、叉积判断平行、垂直或夹角。
例题提示：方向向量可以乘任意非零常数，但不能取零向量；不要把法向量当直线方向。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到曲线切向量、平面法向量和距离问题。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：方向向量可以乘任意非零常数，但不能取零向量；不要把法向量当直线方向。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景直线与平面
直线：r=r0+ts
平面：n·(r−r0)=0
平面：n·(r−r0)=0
条件：s 为非零方向向量，n 为非零法向量。
场景：平行、垂直、交点和参数方程。
距离与夹角
cosθ=(a·b)/(|a||b|)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
d(P,Ax+By+Cz+D=0)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)
条件：距离取非负值，向量不能为零。
场景：点面、线面、线线距离和夹角。
曲面与切平面
F(x,y,z)=c：∇F(P)·(r−P)=0
条件：∇F(P)≠0。
场景：曲面切平面、法线和空间区域。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。