分部积分由 (uv)′=u′v+uv′ 得出：∫u dv=uv−∫v du；定积分要加边界项 [uv]ₐᵇ。
(uv)′ → 边界项 → 选 u 与 dv
积分专题 / 分部积分
← 返回积分专题三基详解 · 积分专题 分部积分的识别、条件核对与计算路径
分部积分
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若 u、v 在区间上可导且相关积分存在，则 ∫ₐᵇu dv=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇv du。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 让取 u 的部分求导后更简单，让 dv 的部分容易积分。
- 写出边界项，再计算剩余积分。
- 若结构没有变简单，重新选择 u、dv。
例题提示：漏掉 [uv]ₐᵇ 或把 dv 当成 v 是常见错误；记号必须保持微分形式。
四、推广应用
综合题中的连接可用于递推积分、参数积分以及含对数、反三角函数或多项式乘指数的积分。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：漏掉 [uv]ₐᵇ 或把 dv 当成 v 是常见错误；记号必须保持微分形式。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本积分
∫u dv=uv−∫v du
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
∫f′(x)dx=f(x)+C
∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)
条件：函数在区间内满足积分条件。
场景：换元、分部、原函数和边界项。
对称与估值
f 偶：∫−aaf=2∫0af
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
f 奇：∫−aaf=0
m≤f≤M ⇒ m(b−a)≤∫f≤M(b−a)
条件：区间和函数必须同时满足条件。
场景：减少计算、证明不等式和估值。
面积与体积
A=∫ab|f(x)−g(x)|dx
V=∫abA(x)dx
V=∫abA(x)dx
条件：先确定交点、上下关系和截面。
场景：面积、体积、质量和物理应用。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。