设 α(x)、β(x) 在同一趋近过程中都趋于 0。若 lim[α(x)/β(x)]=1，则称 α、β 等价，记作 α~β。
α~β → 乘除替换 → 相减先展开
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等价无穷小
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论等价替换定理：若 α~β，且替换发生在乘法或除法结构中、相关表达式有定义并且极限运算存在，则可用 β 替换 α；加减中的首项抵消不能由此推出。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先写清趋近点和 α、β 的定义域。
- 只在乘除因子中替换，并保留未替换因子。
- 若出现相减或首项抵消，改用 Taylor 展开到首个非零项。
例题提示：例：sin x~x 不能推出 x−sin x~0；应展开 sin x=x−x³/6+O(x⁵)，得 x−sin x~x³/6。
四、推广应用
综合题中的连接等价关系可用于复合极限、参数极限和积分型极限，但要重新确认内层变量趋近的点和阶数。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：sin x~x 不能推出 x−sin x~0；应展开 sin x=x−x³/6+O(x⁵)，得 x−sin x~x³/6。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景常用等价无穷小
sin u ~ u
tan u ~ u
arcsin u ~ u
arctan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
tan u ~ u
arcsin u ~ u
arctan u ~ u
ln(1+u) ~ u
eu−1 ~ u
1−cos u ~ u²/2
条件：u→0。等价关系主要用于乘除结构；若出现在加减或相减中，要检查首项抵消。
场景：直接处理基本未定式，或先化简复合函数的局部因子。
常用 Taylor 展开
eu=1+u+u²/2!+u³/3!+O(u⁴)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+u⁴/4!+O(u⁶)
ln(1+u)=u−u²/2+u³/3+O(u⁴)
sin u=u−u³/3!+O(u⁵)
cos u=1−u²/2!+u⁴/4!+O(u⁶)
ln(1+u)=u−u²/2+u³/3+O(u⁴)
条件：u→0，并根据题目需要保留足够阶数。
场景：首项抵消、要求精确阶数、估计误差或处理复合极限。
阶数与余项
f(u)=Pn(u)+O(un+1)
u=o(1) ⇒ O(um)=o(un)（m>n）
u=o(1) ⇒ O(um)=o(un)（m>n）
条件：展开点和变量趋近关系必须明确，不能把 O(uⁿ) 当成等式。
场景：判断哪一项主导、确认展开是否足够、控制相减后的首个非零项。
使用边界
“~”保留相对主导行为，“O(·)”控制误差阶。相减时优先使用 Taylor 展开，不要把两个等价式直接相减。