收敛半径

本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。

一、基本概念

标准定义

幂级数 Σcₙ(x−x₀)ⁿ 的收敛半径 R 是其绝对收敛区间以 x₀ 为中心的半径。

|x-x₀|

条件与结论

当 |x−x₀|R 时发散；两个端点 x₀±R 必须分别检验。

条件检查

定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。

题目中的执行顺序

例题提示：端点不能由 R 自动判断；开区间结论也不能擅自包含端点。

综合题中的连接

可推广到幂级数逐项求导、积分和 Taylor 展开。

反例与边界

易错与例子：端点不能由 R 自动判断；开区间结论也不能擅自包含端点。

检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。

收敛半径的识别、条件核对与计算路径

公式、条件、场景

Σa n 收敛 \Rightarrow a n \to0 L=lim|a n+1 /a n |<1 收敛，L>1 发散

条件：L=1 时比值判别无结论。

场景：正项、阶乘、指数型通项。

Σ(-1) n-1 b n ：b n ↓0 \Rightarrow 收敛 |R n |\leqb n+1

条件：单调递减且趋于 0。

场景：符号交替、误差估计。

Σc n (x-x 0) n 先求 R，再检验 x=x 0 \pmR

条件：端点必须分别判断。

场景：收敛域、逐项求导和积分。

使用边界

公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。