二阶常系数齐次方程是 y″+ay′+by=0，其中 a、b 为常数；非齐次方程右端再加 r(x)。
特征方程 → 重根×x → 齐次+特解
微分方程 / 二阶常系数方程
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二阶常系数方程
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论特征方程 r²+ar+b=0 的根决定齐次通解：两实根、重根和共轭复根分别对应不同形式；非齐次解为齐次解加特解。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先解特征方程并按根型写齐次解。
- 依据右端形式设特解，若与齐次项重复则乘 x 的适当幂。
- 叠加并用初值确定常数。
例题提示：重根必须乘 x；复根 α±βi 的实解应写 e^{αx}(C₁cosβx+C₂sinβx)。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到高阶常系数方程、振动模型和线性系统。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：重根必须乘 x；复根 α±βi 的实解应写 e^{αx}(C₁cosβx+C₂sinβx)。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景一阶线性
y′+P(x)y=Q(x)
μ=e∫P(x)dx
(μy)′=μQ
μ=e∫P(x)dx
(μy)′=μQ
条件：先整理为标准形式。
场景：一阶线性初值问题。
可分离变量
dy/dx=f(x)g(y)
dy/g(y)=f(x)dx
dy/g(y)=f(x)dx
条件：分离时注意可能遗漏的平衡解。
场景：增长、衰减和简单模型。
二阶常系数
y″+ay′+by=0
r²+ar+b=0
r²+ar+b=0
条件：按特征根类型写齐次通解。
场景：重根、共轭复根和非齐次特解。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。