n 阶 Taylor 余项定义为 Rₙ(x)=f(x)−Pₙ(x)，其中 Pₙ 是在 a 点的 n 阶 Taylor 多项式。
Rₙ=f−Pₙ → ξ∈(a,x) → 误差上界
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Taylor 余项与估值
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若 f 在 a 与 x 之间连续且具有 n+1 阶导数，则 Rₙ=f^(n+1)(ξ)(x−a)^(n+1)/(n+1)!；取绝对值可得到误差上界。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先确定展开阶数和 x 的范围。
- 在该范围内估计 |f^(n+1)| 的上界。
- 代入余项公式，最后写出误差或不等式。
例题提示：余项是差值而非“约等于”；把 Rₙ 写成 O((x−a)^n) 时阶数必须与展开阶数一致。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到极限阶数、数值近似、积分误差和多元 Taylor 公式。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：余项是差值而非“约等于”；把 Rₙ 写成 O((x−a)^n) 时阶数必须与展开阶数一致。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。