辅助函数是为使目标命题转化为函数值、导数值或零点问题而构造的函数；它不是固定公式，而是服务于证明目标的工具。
差函数 → 导数符号 → 等号条件
导数证明 / 辅助函数
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辅助函数
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论构造后必须验证其定义域、连续性和可导性，并明确使用的是 Rolle、Lagrange、介值定理还是单调性。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 从目标式反推：差值对应差函数，不等式对应差并研究符号。
- 让目标结论直接出现在 F(b)−F(a)、F′(x) 或 F(x)=0 中。
- 应用定理并写清等号条件。
例题提示：辅助函数越简单越好；若构造后目标式仍不出现，说明函数选择没有贴合结论。
四、推广应用
综合题中的连接可用于参数不等式、积分不等式、存在性和唯一性证明。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：辅助函数越简单越好；若构造后目标式仍不出现，说明函数选择没有贴合结论。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。