f 在内点 x₀ 有局部极小值，是指存在 δ>0，使 |x−x₀|<δ 时 f(x)≥f(x₀)；局部极大值反向定义。
局部邻域 → 必要条件 → 端点比较
导数证明 / 极值
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极值
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论Fermat 定理：若 f 在内点可导且取得局部极值，则 f′(x₀)=0；这是必要条件而非充分条件。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 求出 f′=0 的驻点和 f′不存在的点。
- 用导数符号变化、二阶导数或定义判断。
- 闭区间最值还要比较端点值，不能只查驻点。
例题提示：f(x)=x³ 在 0 处 f′=0 但没有极值；驻点必须进一步判别。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到闭区间最值、多元极值、条件极值和参数极值。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：f(x)=x³ 在 0 处 f′=0 但没有极值；驻点必须进一步判别。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。