f 在区间 I 上单调不减，是指任意 x₁ 若 f 在 I 内可导且 f′≥0，则 f 单调不减；若 f′>0，则 f 严格递增。条件必须覆盖整个区间。 定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。 例题提示：只在一个点验证 f′>0 不能证明区间单调；必须给出完整区间的符号依据。 单调性可用于反函数存在、方程根的唯一性、极值和数列收敛性。 易错与例子：只在一个点验证 f′>0 不能证明区间单调；必须给出完整区间的符号依据。 检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。 条件：在定义域内求导。 场景：单调性、极值、切线和复合函数。 条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。 场景：存在性、估值、不等式证明。 条件：区间内具有足够阶导数。 场景：证明不等式、控制误差和比较函数。 公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。x₁二、基本定理
条件与结论条件检查三、基本方法
题目中的执行顺序四、推广应用
综合题中的连接五、易错辨析
反例与边界公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn使用边界
导数证明 / 单调性
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单调性
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。