函数 f 在 x₀ 处的导数定义为 f′(x₀)=lim[h→0](f(x₀+h)−f(x₀))/h，前提是该极限存在且有限。
差商定义 → 可导⇒连续 → 切线斜率
导数证明 / 导数的意义
← 返回导数证明三基详解 · 导数证明 导数的意义的识别、条件核对与计算路径
导数的意义
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论可导必连续：若 f′(x₀) 存在，则 f 在 x₀ 连续；连续不必可导，例如 |x| 在 0 处连续但不可导。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先写定义域和求导点。
- 需要证明时从差商极限出发；需要计算时再用求导法则。
- 把导数值与切线斜率、瞬时变化率对应起来。
例题提示：例：|x| 在 0 处左右差商分别为 −1、1，故导数不存在，不能把连续误当成可导。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到高阶导数、参数方程、隐函数和多元方向导数。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：例：|x| 在 0 处左右差商分别为 −1、1，故导数不存在，不能把连续误当成可导。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景基本求导
(xα)′=αxα−1
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
(ex)′=ex (ln x)′=1/x
(sin x)′=cos x (cos x)′=−sin x
条件：在定义域内求导。
场景：单调性、极值、切线和复合函数。
中值定理
Rolle：f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)=0
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
Lagrange：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
条件：闭区间连续、开区间可导；Rolle 还需端点值相等。
场景：存在性、估值、不等式证明。
Taylor 与估值
f(x)=Σk=0nf⁽ᵏ⁾(a)(x−a)ᵏ/k!+Rn
条件：区间内具有足够阶导数。
场景：证明不等式、控制误差和比较函数。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。