三重积分

本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。

一、基本概念

标准定义

三重积分 ∭_Ω f(x,y,z)dV 是在空间区域 Ω 上按体积元累加；f=1 时得到体积。

dV \to 投影+截面 \to 柱/球坐标

条件与结论

在 f 在 Ω 上可积时，Fubini 定理允许按合法次序写成三次累次积分；坐标变换还需乘体积 Jacobian。

条件检查

定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。

题目中的执行顺序

例题提示：三维边界写错比积分运算错误更常见；柱坐标要有 r，球坐标要有 ρ²sinφ。

综合题中的连接

可推广到质量、转动惯量、通量和体积计算。

反例与边界

易错与例子：三维边界写错比积分运算错误更常见；柱坐标要有 r，球坐标要有 ρ²sinφ。

检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。

三重积分的识别、条件核对与计算路径

公式、条件、场景

z=f(u,v)：z x =f u u x +f v v x dz=f x dx+f y dy

条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。

场景：复合函数、隐函数和方向导数。

D=f xx f yy -f xy ² D>0,f xx >0：极小 D>0,f xx <0：极大；D<0：鞍点

条件：先求全部驻点；D=0 无结论。

场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。

dA=r dr dθ dV=r dz dr dθ dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ

条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。

场景：圆、球、旋转体和三重积分。

Green：\ointPdx+Qdy=\iint(Q x -P y)dA Gauss：∯F\cdotn dS=∭div F dV

条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。

场景：环流、通量和边界积分化简。

使用边界

公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。