由 (x,y)=T(u,v) 把原区域与被积函数改写到新变量；面积元按 Jacobian 的绝对值缩放。
dA=|J|dudv → 一一映射 → 先换区域
多元函数 / 坐标变换
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坐标变换
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若 T 在区域上分片光滑且一一（或按重数计数），则 dA=|∂(x,y)/∂(u,v)|dudv；三维情形使用三阶 Jacobian。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先把边界方程换成 u、v。
- 再替换函数和面积元，写出新区域。
- 检查映射是否覆盖一次及 Jacobian 是否为零。
例题提示：极坐标面积元是 r,dr,dθ；漏掉 r 或漏换边界都会改变结果。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到极坐标、柱坐标、球坐标和椭圆区域。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：极坐标面积元是 r,dr,dθ；漏掉 r 或漏换边界都会改变结果。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景链式法则与全微分
z=f(u,v)：zx=fuux+fvvx
dz=fxdx+fydy
dz=fxdx+fydy
条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。
场景：复合函数、隐函数和方向导数。
极值判别
D=fxxfyy−fxy²
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
条件：先求全部驻点；D=0 无结论。
场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。
重积分与坐标
dA=r dr dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。
场景：圆、球、旋转体和三重积分。
积分定理
Green：∮Pdx+Qdy=∬(Qx−Py)dA
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。
场景：环流、通量和边界积分化简。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。