f 在 P 可微，是指 Δf=∇f(P)·Δr+o(|Δr|)；其中 df=∇f(P)·d r 是增量的一阶线性主部。
Δf=∇f·Δr+o(|Δr|) → Dₑf=∇f·e → |e|=1
多元函数 / 全微分与方向导数
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全微分与方向导数
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若 f 可微且 e 为单位向量，则方向导数 Dₑf(P)=∇f(P)·e；方向向量未单位化时要先归一化。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 求偏导组成梯度并确认可微条件。
- 把给定方向向量除以其长度。
- 用点积求方向导数，或用线性主部估算增量。
例题提示：偏导存在不自动推出可微；把非单位方向直接代入会多出一个长度因子。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到梯度最大方向、误差传播和多元 Taylor 公式。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：偏导存在不自动推出可微；把非单位方向直接代入会多出一个长度因子。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景链式法则与全微分
z=f(u,v)：zx=fuux+fvvx
dz=fxdx+fydy
dz=fxdx+fydy
条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。
场景：复合函数、隐函数和方向导数。
极值判别
D=fxxfyy−fxy²
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
条件：先求全部驻点；D=0 无结论。
场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。
重积分与坐标
dA=r dr dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。
场景：圆、球、旋转体和三重积分。
积分定理
Green：∮Pdx+Qdy=∬(Qx−Py)dA
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。
场景：环流、通量和边界积分化简。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。