若 F(x₀,y₀)=0、F 在点附近连续可微且 Fᵧ(x₀,y₀)≠0，则方程 F(x,y)=0 在该点附近唯一确定 y=φ(x)。
Fᵧ≠0 → F(x,y)=0 → y′=−Fₓ/Fᵧ
多元函数 / 隐函数求导
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隐函数求导
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论由 F(x,φ(x))=0 求导得 y′=−Fₓ/Fᵧ；若 Fᵧ=0 而 Fₓ≠0，通常应改为把 x 看作 y 的函数。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 先写 F(x,y)=0 并确认目标点满足方程。
- 整体求导，保留 y′ 或其他隐含导数。
- 用非零偏导解出目标导数，并检查分母。
例题提示：把 y 当常量会漏项；多元偏导时必须固定题目没有求导的自变量。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到多元隐函数、切平面、参数曲面和高阶隐式求导。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：把 y 当常量会漏项；多元偏导时必须固定题目没有求导的自变量。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景链式法则与全微分
z=f(u,v)：zx=fuux+fvvx
dz=fxdx+fydy
dz=fxdx+fydy
条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。
场景：复合函数、隐函数和方向导数。
极值判别
D=fxxfyy−fxy²
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
条件：先求全部驻点；D=0 无结论。
场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。
重积分与坐标
dA=r dr dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。
场景：圆、球、旋转体和三重积分。
积分定理
Green：∮Pdx+Qdy=∬(Qx−Py)dA
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。
场景：环流、通量和边界积分化简。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。