链式法则

本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。

一、基本概念

标准定义

若 z=f(u,v)、u=u(x,y)、v=v(x,y)，且各映射在对应点可微，则 zₓ=fᵤuₓ+fᵥvₓ，zᵧ=fᵤuᵧ+fᵥvᵧ。

依赖路径 \to 路径相乘 \to Jacobian

条件与结论

多元链式法则把每条依赖路径的导数相乘后相加；可微性是公式成立的核心条件。

条件检查

定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。

题目中的执行顺序

例题提示：二阶导数不能把一阶导数简单平方；漏掉中间变量的二阶项会造成错误。

综合题中的连接

可推广到 Jacobian 矩阵、隐函数、参数曲面和多元微分方程。

反例与边界

易错与例子：二阶导数不能把一阶导数简单平方；漏掉中间变量的二阶项会造成错误。

检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。

链式法则的识别、条件核对与计算路径

公式、条件、场景

z=f(u,v)：z x =f u u x +f v v x dz=f x dx+f y dy

条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。

场景：复合函数、隐函数和方向导数。

D=f xx f yy -f xy ² D>0,f xx >0：极小 D>0,f xx <0：极大；D<0：鞍点

条件：先求全部驻点；D=0 无结论。

场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。

dA=r dr dθ dV=r dz dr dθ dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ

条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。

场景：圆、球、旋转体和三重积分。

Green：\ointPdx+Qdy=\iint(Q x -P y)dA Gauss：∯F\cdotn dS=∭div F dV

条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。

场景：环流、通量和边界积分化简。

使用边界

公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。