二元函数 f 对 x 的偏导定义为 fₓ(x₀,y₀)=lim[h→0](f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀))/h，求导时固定 y。
固定 y → 坐标方向极限 → 连续偏导⇒可微
多元函数 / 偏导数
← 返回多元函数三基详解 · 多元函数 偏导数的识别、条件核对与计算路径
偏导数
本页给出标准定义、定理条件、可执行步骤，并用图示梳理从识别到应用的关系。
一、基本概念
标准定义二、基本定理
条件与结论若偏导数在点的邻域存在且连续，则 f 在该点可微；仅有偏导存在不能推出连续或可微。
条件检查
定理只在上述连续性、可导性、定义域、方向或收敛条件满足时使用。
三、基本方法
题目中的执行顺序- 明确要求 fₓ 还是 fᵧ，并固定其余变量。
- 按单变量求导规则计算。
- 若题目问可微性，补充连续偏导或直接检验增量定义。
例题提示：把另一个自变量也一起求导会改变问题；偏导存在不等于全微分存在。
四、推广应用
综合题中的连接可推广到方向导数、梯度、切平面和多元 Taylor 展开。
五、易错辨析
反例与边界易错与例子：把另一个自变量也一起求导会改变问题；偏导存在不等于全微分存在。
检查条件、变量/方向、边界与等号条件，再确认结论没有超出题设。
公式速查
公式、条件、场景链式法则与全微分
z=f(u,v)：zx=fuux+fvvx
dz=fxdx+fydy
dz=fxdx+fydy
条件：变量关系可微；偏导时固定其余自变量。
场景：复合函数、隐函数和方向导数。
极值判别
D=fxxfyy−fxy²
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
D>0,fxx>0：极小
D>0,fxx<0：极大；D<0：鞍点
条件：先求全部驻点；D=0 无结论。
场景：局部极值、闭区域最值和约束极值。
重积分与坐标
dA=r dr dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
dV=r dz dr dθ
dV=ρ²sinφ dρ dφ dθ
条件：换坐标时同时替换区域、函数和体积元。
场景：圆、球、旋转体和三重积分。
积分定理
Green：∮Pdx+Qdy=∬(Qx−Py)dA
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
Gauss：∯F·n dS=∭div F dV
条件：闭合边界、方向和光滑性满足定理要求。
场景：环流、通量和边界积分化简。
使用边界
公式必须和适用条件一起使用；遇到边界、端点、方向或定义域问题，先检查条件再代入。